Question

Cho đoạn thẳng AB = 2²⁰⁰¹. Gọi M₁ là trung điểm của đoạn thẳng AB ; M₂ là trung điểm của đoạn thẳng AM₁ ; M₃ là tung điểm của đoạn thẳng AM₂ ; ... ; M₂₀₁₁ là trung điểm của đoạn thẳng AM₂₀₁₀ . Tính độ dài của đoạn AM₂₀₁₀ và AM₂₀₁₁

Answer 1

M₁ là trung điểm của AB

\(\Rightarrow AM_1=\dfrac{1}{2}AB\)

M₂ là trung điểm của AM₁

\(\Rightarrow AM_2=\dfrac{1}{2}AM_1=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2^2}AB\)

M₃ là trung điểm của AM₂

\(\Rightarrow AM_3=\dfrac{1}{2}AM_2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^2}AB=\dfrac{1}{2^3}AB\)

...

M₂₀₁₀ là trung điểm của AM₂₀₀₉

\(\Rightarrow AM_{2010}=\dfrac{1}{2}AM_{2009}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^{2009}}AB=\dfrac{1}{2^{2010}}AB=\dfrac{1}{2^{2010}}\cdot2^{2001}=\dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}\)

M₂₀₁₁ là trung điểm của AM₂₀₁₀

\(\Rightarrow AM_{2011}=\dfrac{1}{2}AM_{2010}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^{2010}}AB=\dfrac{1}{2^{2011}}AB=\dfrac{1}{2^{2011}}\cdot2^{2001}=\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}\)

Vậy

\(AM_{2010}=\dfrac{1}{512}\\ AM_{2011}=\dfrac{1}{1024}\)