Cho điểm M thuộc (O) đường kính AB (M≠A,B;MA<MB). Tia phân giác góc AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh: AH và BD cắt nhau tại 1 điểm N trên (O)
b) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của (O). Chứng minh: ACHE là hình vuông.
c) Gọi F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của (O). Chứng minh: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.
d) Gọi S1,S2 là diện tích của tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh: \(CM^2\le\sqrt{S1.S2}\)
a: góc AMB=90 độ
Xét ΔABD có H là trực tâm
nên AH vuông góc BD tại N
=>N thuộc (O)
=>ĐPCM
b: Xét tứ giác ACHE có
góc ACH=góc AEH=góc EAC=90 độ
=>ACHE là hình chữ nhật
CA/CB=MA/MB
CH/CB=MA/MB
=>CA=CH
=>ACHE là hình vuông
c: ACHE là hình vuông
=>AH=CE; AH cắt CE tại trung điểm I của mỗi đường
=>MI=1/2AH=1/2CE
=>ΔMCE vuông tại M
=>ME vuông góc MC
Chứng minh tương tự, ta được: BCDF là hình vuông và MF vuông góc MC
Xét ΔDMN và ΔDBA có
góc D chung
DM/DB=DN/DA
=>ΔDMN đồng dạng với ΔDBA
=>góc DMN=góc DBA=45 độ
góc AMC=1/2*góc AMB=45 độ
=>góc CMN=90 độ
=>MN vuông góc MC
=>E,M,F,N thẳng hàng
