Question

cho \(\Delta\)ABC có \(\widehat{A}\)=\(90^o\) . M là trung điểm BC. Kẻ MN vuông góc với AB (N\(\in\)AB). MH vuông góc với AC(H thuộc AC)

Kẻ NQ vuông góc với AM(Q thuộc AM). I là trung điểm của AQ. K là trung điểm của MH.

CMR : NI \(\perp\)IK

Answer 1

Gọi F là trung điểm của NQ.

Xét tứ giác MNAH có 3 góc vuông => Tứ giác MNAH là hình chữ nhật.

Xét tam giác ANQ có: NF = FQ ( F là trung điểm NQ ) và AI = IQ

=> IF là đường trung bình

=> \(IF=\dfrac{1}{2}AN\) mà AN = MH ( MNAH là hình chữ nhật ) => \(IF=\dfrac{1}{2}MH=MK\) ( 1 )

=> IF // AN mà AN // MH ( MNAH là hình chữ nhật ) => IF // MH hay IF // MK ( 2 )

( 1 ) , ( 2 ) => FIKM là hình bình hành

Ta lại có : IF // AN mà \(AN\perp MN\) => \(IF\perp MN\) => IF là đường cao tam giác MNI

Xét tam giác MNI có: IF là đường cao thứ nhất

NQ là đường cao thứ hai

=> MF là đường cao thứ ba => \(MF\perp NI\) mà MF // IK ( FIKM là hình bình hành )

=> \(NI\perp IK\) ( đpcm )