Tự vẽ hình nhé!
Ta có tứ giác AFCB có:
góc ABC = góc FCB = góc AFC = 900
=> AFCB là hình chữ nhật
Mà P, Q, M, N lần lượt là trung điểm của 4 cạnh => MNPQ là hình vuông
Nối B với F, C với D.
\(\Delta CBD\) có MQ//CD và \(MQ=\frac{1}{2}CD\)
(Vì MQ là đường trung bình \(\Delta CBD\))
Tương tự, \(\Delta CFD\) có PN//CD và \(PN=\frac{1}{2}CD\)
\(\Rightarrow\)MQ//PN và \(MQ=PN=\frac{1}{2}CD\)
\(\Rightarrow MNPQ\) LÀ hình bình hành\(\Rightarrow\) PQ=MN
Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta AFB\) có:
AC=AF (cạnh hình vuông ACDF)
\(\widehat{CAD}=\widehat{FAB}\left(=90^0+\widehat{BAC}\right)\)
AD=AB (cạnh hình vuông ABSD)
\(\Rightarrow\Delta CAD=\Delta AFB\Rightarrow CD=BF\) và \(\widehat{ABF}=\widehat{ADC}\)
Chứng minh tương tự như trên, ta có:\(PQ=MN\left(=\frac{BF}{2}\right)\)
Vậy MQ=PQ
=> MNPQ là hình thoi.
Gọi I là giao điểm của CD và BF, K là giao điểm của AB và CD.
Trong \(\Delta\) vuông DAK có:
\(\widehat{ADC}+\widehat{AKD=90^0}\left(\widehat{DAI}=90^0\right)\)
mà \(\widehat{AKD}=\widehat{BKC}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{ABF}+\widehat{BKC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{BIK}=90^0\) hay \(CD\perp BF\Rightarrow QP\perp QM\)
Hay tứ giác MNPQ là hình vuông.
