Cho ∆DEF cân tại D. Trên tia đối của tia EF lấy điểm P, trên tia đối của tia FE lấy điểm Q sao cho EP = FQ.
a) Chứng minh ∆DPQ là tam giác cân.
b) Kẻ EM vuông góc với DP (M thuộc DP), kẻ FN vuông góc với DQ (N thuộc DQ). Chứng minh EM = FN.
c) Chứng minh: DM = DN.
d) Gọi I là giao điểm của EM và FN. Tam giác IEF là tam giác gì? Vì sao?
e) Khi 0 ˆ D60 và EP = FQ = EF, hãy tính số đo các góc của ∆DPQ và cho biết ∆IEF là tam giác gì?
f) Chứng minh DI là tia phân giác của góc EDF.
g) Chứng minh DI là đường trung trực của đoạn EF.
a) Ta có: \(\widehat{DEF}+\widehat{DEP}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{DFE}+\widehat{DFQ}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{DEF}=\widehat{DFE}\)(hai góc ở đáy của ΔDEF cân tại D)
nên \(\widehat{DEP}=\widehat{DFQ}\)
Xét ΔDEP và ΔDFQ có
DE=DF(ΔDEF cân tại D)
\(\widehat{DEP}=\widehat{DFQ}\)(cmt)
PE=FQ(gt)
Do đó: ΔDEP=ΔDFQ(c-g-c)
⇒DP=DQ(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔDPQ có DP=DQ(cmt)
nên ΔDPQ cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
b) Ta có: ΔDEP=ΔDFQ(cmt)
⇒\(\widehat{DPE}=\widehat{DQF}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{MPE}=\widehat{NQF}\)
Xét ΔMPE vuông tại M và ΔNFQ vuông tại N có
PE=FQ(gt)
\(\widehat{MPE}=\widehat{NQF}\)(cmt)
Do đó: ΔMPE=ΔNFQ(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒EM=FN(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ΔMPE=ΔNFQ(cmt)
⇒MP=NQ(hai cạnh tương ứng)
Ta có: DM+MP=DP(do D,M,P thẳng hàng)
DN+NQ=DQ(do D,N,Q thẳng hàng)
mà DP=DQ(cmt)
và MP=NQ(cmt)
nên DM=DN(đpcm)
d) Ta có: ΔMPE=ΔNFQ(cmt)
⇒\(\widehat{MEP}=\widehat{NFQ}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{MEP}=\widehat{FEI}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{NFQ}=\widehat{EFI}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{FEI}=\widehat{EFI}\)
Xét ΔIEF có \(\widehat{FEI}=\widehat{EFI}\)(cmt)
nên ΔIFE cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
e)
*Tính số đo các góc của ΔDQP
Xét ΔDEF cân tại D có \(\widehat{EDF}=60^0\)(gt)
nên ΔDEF đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
⇒DE=EF=DF và \(\widehat{EDF}=\widehat{DEF}=\widehat{DFE}=60^0\)(số đo của các cạnh và các góc trong ΔDEF đều)
mà EP=FQ=EF(gt)
nên PE=DE=EF=DF=FQ
Ta có: \(\widehat{DEF}+\widehat{DEP}=180^0\)(hai góc kề bù)
hay \(\widehat{DEP}=180^0-\widehat{DEF}=180^0-60^0=120^0\)
Xét ΔDEP có DE=EP(cmt)
nên ΔDEP cân tại E(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{P}=\frac{180^0-\widehat{DEP}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔDEP cân tại E)
hay \(\widehat{P}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
Ta có: ΔDPQ cân tại D(cm câu a)
⇒\(\widehat{P}=\widehat{Q}\)(hai góc ở đáy)
mà \(\widehat{P}=30^0\)(cmt)
nên \(\widehat{Q}=30^0\)
Ta có: ΔDPQ cân tại D(cmt)
⇒\(\widehat{PDQ}=180^0-2\cdot\widehat{P}\)(số đo của góc ở đỉnh trong ΔDPQ cân tại D)
hay \(\widehat{PDQ}=180^0-2\cdot30^0=120^0\)
*Cho biết ΔIEF là tam giác gì
Ta có: ΔPEM vuông tại M(EM⊥PD)
⇒\(\widehat{P}+\widehat{MEP}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{MEP}=90^0-\widehat{P}=90^0-30^0=60^0\)
mà \(\widehat{MEP}=\widehat{FEI}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{FEI}=60^0\)
Xét ΔIEF cân tại I có \(\widehat{FEI}=60^0\)(cmt)
nên ΔIEF đều
Vậy: Khi \(\widehat{EDF}=60^0\) và PE=EF=FQ thì số đo của các góc trong ΔDPQ lần lượt là: \(\widehat{P}=30^0\), \(\widehat{Q}=30^0\), \(\widehat{PDQ}=120^0\) và ΔIEF đều
f) Xét ΔDEI và ΔDFI có
DE=DF(ΔDEF cân tại D)
DI chung
EI=FI(ΔEFI cân tại I)
Do đó: ΔDEI=ΔDFI(c-c-c)
⇒\(\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\)(hai góc tương ứng)
mà tia DI nằm giữa hai tia DE,DF
nên DI là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\)(đpcm)
g) Ta có: DE=DF(ΔDEF cân tại D)
⇒D nằm trên đường trung trực của EF(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(a)
Ta có: IE=IF(ΔIEF cân tại I)
⇒I nằm trên đường trung trực của EF(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(b)
Từ (a) và (b) suy ra DI là đường trung trực của EF(đpcm)
