Violympic toán 7
Các câu hỏi tương tự
Viết thêm 3 số hạng vào dãy sau
a, 4;18;40;70;108
b, 1;6;15;28;45
18 tháng 10 2021 lúc 6:07
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.Bài 1. Tính A 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)Hướng dẫn giảiCách 1:Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:Gọi a1 1.2 → 3a1 1.2.3 → 3a1 1.2.3 - 0.1.2a2 2.3 → 3a2 2.3.3 → 3a2 2.3.4 - 1.2.3a3 3.4 → 3a3 3.3.4 → 3a3 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 (n - 1)n → 3an-1 3(n - 1)n → 3an-1 (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan n(n + 1) → 3an 3n(n + 1) → 3an n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)Cộng từng vế của các đẳng thứ...
Đọc tiếp
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1= 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2= 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
3(a1 + a2 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]
3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
3A = n(n + 1)(n + 2)
* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).4
4B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)]
4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Hướng dẫn giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3)
4.7 = 4.(4 + 3)
…….
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n
C = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n
C = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)
⇒ 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)
3C = n(n + 1)(n + 2) +
⇒ C = +
=
Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
Ta có:
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)
A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)
A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1
A = (12 + 22 + 32 + .... + n2) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
và 1 + 2 + 3 + .... + n =
⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 =
Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3
Hướng dẫn giải
Tương tự bài toán ở trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E:
B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)
B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)
B = (23 - 2) + (33 - 3) + .... + (n3 - n)
B = (23 + 33 + .... +n3) - (2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - (1 + 2 + 3 + ... + n)
B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) -
⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B +
Mà
⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = +
Cho dãy: 1,-5,9,-13,17,-21,25,...
a)Viết số hạng tổng quát thứ n của dãy trên
b)Tính tổng 2008 số hạng đầu tiên
Cho 100 cái rương có cùng 1 số đồng tiền như nhau. Ở rương đầu tiên, người ta lấy 1 số đồng tiền. Ở rương thứ 2, người ta lấy số đồng tiền gấp 2 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Ở rương thứ 3, người ta lấy số đồng tiền gấp 3 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất...Ở rương thứ 100, người ta lấy số đồng tiền gấp 100 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Sau khi lấy xong thì số đồng tiền còn lại trong rương thứ 100 là 1 đồng và tổng số đồng tiền còn lại trong 100 rương là 14950 đồng. Tính số đồ...
Đọc tiếp
Cho 100 cái rương có cùng 1 số đồng tiền như nhau. Ở rương đầu tiên, người ta lấy 1 số đồng tiền. Ở rương thứ 2, người ta lấy số đồng tiền gấp 2 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Ở rương thứ 3, người ta lấy số đồng tiền gấp 3 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất...Ở rương thứ 100, người ta lấy số đồng tiền gấp 100 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Sau khi lấy xong thì số đồng tiền còn lại trong rương thứ 100 là 1 đồng và tổng số đồng tiền còn lại trong 100 rương là 14950 đồng. Tính số đồng tiền có trong mỗi rương ban đầu
Cho 100 cái rương có cùng 1 số đồng tiền như nhau. Ở rương đầu tiên, người ta lấy 1 số đồng tiền. Ở rương thứ 2, người ta lấy số đồng tiền gấp 2 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Ở rương thứ 3, người ta lấy số đồng tiền gấp 3 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất...Ở rương thứ 100, người ta lấy số đồng tiền gấp 100 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Sau khi lấy xong thì số đồng tiền còn lại trong rương thứ 100 là 1 đồng và tổng số đồng tiền còn lại trong 100 rương là 14950 đồng. Tính số đồ...
Đọc tiếp
Cho 100 cái rương có cùng 1 số đồng tiền như nhau. Ở rương đầu tiên, người ta lấy 1 số đồng tiền. Ở rương thứ 2, người ta lấy số đồng tiền gấp 2 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Ở rương thứ 3, người ta lấy số đồng tiền gấp 3 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất...Ở rương thứ 100, người ta lấy số đồng tiền gấp 100 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Sau khi lấy xong thì số đồng tiền còn lại trong rương thứ 100 là 1 đồng và tổng số đồng tiền còn lại trong 100 rương là 14950 đồng. Tính số đồng tiền có trong mỗi rương ban đầu
Cho 100 cái rương có cùng 1 số đồng tiền như nhau. Ở rương đầu tiên, người ta lấy 1 số đồng tiền. Ở rương thứ 2, người ta lấy số đồng tiền gấp 2 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Ở rương thứ 3, người ta lấy số đồng tiền gấp 3 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất...Ở rương thứ 100, người ta lấy số đồng tiền gấp 100 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Sau khi lấy xong thì số đồng tiền còn lại trong rương thứ 100 là 1 đồng và tổng số đồng tiền còn lại trong 100 rương là 14950 đồng. Tính số đồ...
Đọc tiếp
Cho 100 cái rương có cùng 1 số đồng tiền như nhau. Ở rương đầu tiên, người ta lấy 1 số đồng tiền. Ở rương thứ 2, người ta lấy số đồng tiền gấp 2 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Ở rương thứ 3, người ta lấy số đồng tiền gấp 3 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất...Ở rương thứ 100, người ta lấy số đồng tiền gấp 100 số đồng tiền đã lấy ở rương thứ nhất. Sau khi lấy xong thì số đồng tiền còn lại trong rương thứ 100 là 1 đồng và tổng số đồng tiền còn lại trong 100 rương là 14950 đồng. Tính số đồng tiền có trong mỗi rương ban đầu
Câu 1: Cho dãy số 25;35;56;... trong đó có một só hạng của dãy bằng tổng các chữ số của số thứ tự đứng kế ngay trong nó nhân với 7. Hỏi số hạng thứ 2018 là số nào?
Câu 2: Tính giá trị A dfrac{^{^{ }}2^{2017}+4^2}{2^{2018}+3^2}
Câu 3: Cho tỉ lệ thức: dfrac{3x-y}{x+y}dfrac{3}{4}
Tính x ?
Câu 4; Tìm số dư trong phép chia A 1 + 3 + 3^2+3^3+...+3^{2017}. cho 4
Câu 5: Tính giá trị của biểu thức B sqrt{left(-5right)^2}+sqrt{5^2}-sqrt{-3^2}-sqrt{3^2}
Đọc tiếp
Câu 1: Cho dãy số 25;35;56;... trong đó có một só hạng của dãy bằng tổng các chữ số của số thứ tự đứng kế ngay trong nó nhân với 7. Hỏi số hạng thứ 2018 là số nào?
Câu 2: Tính giá trị A \(=\dfrac{^{^{ }}2^{2017}+4^2}{2^{2018}+3^2}\)
Câu 3: Cho tỉ lệ thức: \(\dfrac{3x-y}{x+y}=\dfrac{3}{4}\)
Tính x =?
Câu 4; Tìm số dư trong phép chia A = 1 + 3 + \(3^2+3^3+...+3^{2017}.\) cho 4
Câu 5: Tính giá trị của biểu thức B = \(\sqrt{\left(-5\right)^2}+\sqrt{5^2}-\sqrt{-3^2}-\sqrt{3^2}\)
Số hạng thứ 15 của dãy \(\frac{1}{2};\frac{2}{6};\frac{3}{12};\frac{4}{20};\frac{5}{30};..........\)là: ..........bn zậy mấy bn?
Viết số 130 dưới dạng tổng của ba số hạng, các số đó tỉ lệ với 3/5; 7/4 và 0,9. Số hạng lớn nhất là
Tìm số hữu tỉ x mà :
a. Cùng thêm x vào số hạng trên và số hạng dưới của tỉ số dfrac{26}{39} ta được một tỉ số có giá trị bằng dfrac{6}{7} .
b. Thêm x vào số hạng trên và bớt x ở số hạng dưới của tỉ số dfrac{26}{39} ta được một tỉ số bằng dfrac{5}{8} .
Đọc tiếp
Tìm số hữu tỉ x mà :
a. Cùng thêm x vào số hạng trên và số hạng dưới của tỉ số \(\dfrac{26}{39}\) ta được một tỉ số có giá trị bằng \(\dfrac{6}{7}\) .
b. Thêm x vào số hạng trên và bớt x ở số hạng dưới của tỉ số \(\dfrac{26}{39}\) ta được một tỉ số bằng \(\dfrac{5}{8}\) .