Question

Cho ΔABC vuông tại A có AH là đường cao . Gọi I ,K theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh AM ⊥ IK

Answer 1

Gọi P là giao điểm của AM và IK

\(\Delta AKH\) vuông tại K có: HAK + AHK = 90^o

\(\Delta AHC\) vuông tại H có: HAC + HCA = 90^o

Từ 2 điều trên suy ra AHK = HCA (1)

Có: IA // HK (gt)

IH // AK (gt)

Do đó, IH = AK (t/c đoạn chắn)

\(\Delta IHK=\Delta AKH\) (2 cạnh góc vuông)

=> IKH = AHK (2 góc t/ứ) (2)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có AM là trung tuyến nên \(AM=\dfrac{BC}{2}=MC\) => \(\Delta AMC\) cân tại M

=> MAC = MCA hay PAK = MCA (3)

Từ (1); (2) và (3) => HKP = PAK

<=> HKP + PKA = PAK + PKA

<=> 90^o = PAK + PKA

\(\Delta PAK\) có: PAK + PKA + APK = 180^o

<=> 90^o + APK = 180^o

<=> APK = 90^o hay \(AM\perp IK\) (đpcm)