Question

Cho ΔABC . Tìm tập hợp điểm M thoả mãn :

a, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

b, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\)

c,\(\left|\overrightarrow{2MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{4MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

d, \(\left|\overrightarrow{4MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{2MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

Answer 1

d, Lấy P, Q sao cho \(4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0};2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có \(\left|4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|4\text{ }\overrightarrow{MP}+4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|=\left|4\overrightarrow{MP}\right|=4MP\)

\(\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\text{ }\left|2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}\right|=0\)

\(\Rightarrow4MP=0\Rightarrow M\equiv P\)

Answer 2

Gọi G là trọng tâm tam giác, I là trung điểm BC, N là trung điểm của AC

a, Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)

\(\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\)

\(\Rightarrow MG=MI\Rightarrow M\) thuộc đường trung trực của BC

b, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MN}\right|=2MN\)

\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\)

\(\Rightarrow2MN=BA\Rightarrow M\in\left(N;\frac{BA}{2}\right)\)

Answer 3

c, Lấy điểm E thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\), F thỏa mãn \(4\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}\right|=\left|3\overrightarrow{ME}\right|=3ME\)

\(\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\left|4\overrightarrow{MF}+4\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{MF}-\overrightarrow{FC}\right|=\left|3\overrightarrow{MF}\right|=3MF\)

\(\Rightarrow ME=MF\Rightarrow M\) thuộc đường trung trực EF