Question

cho ΔABC nội tiếp (O) tia phân giác \(\widehat{BAC}\) cắt BC tại F và cắt đg tròn tại E.CMR:

a)ΔBEC cân

b)\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=\widehat{BEC}\)

c)AB.AC=AE.AF

d)\(AF^2=AB.AC-BF.CE\)

Answer 1

\(a)\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\Rightarrow\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{CE}\Rightarrow BE=CE\)

Do đó \(\Delta BEC\) cân tại $E$

b) Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB};\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\)

Nên: \(\widehat{BEC}=\widehat{AEB}+\widehat{AEC}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\)

c) Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB};\widehat{BAE}=\widehat{FAC}\) nên \(\Delta AEB\) đồng dạng với \(\Delta ACF\left(g-g\right)\) suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AF}} \Leftrightarrow AB.AC = AE.AF(1)\)

d) Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB;}\widehat{BFE}=\widehat{AFC}\) nên \(\Delta AFC\) đồng dạng với \(\Delta BFE\left(g-g\right)\) suy ra \(\dfrac{{AF}}{{BF}} = \dfrac{{CF}}{{EF}} (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.AC-BF.CF=AE.AF-AF.EF=AF.\left(AE-EF\right)=AF^2\)