Cho ΔABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) vẽ đường kinh AD. Đường thẳng đi qua B vuông góc với AD tại E cắt AC tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC và M là trung điểm của BC
a) C/m CDEF là tứ giác nội tiếp
b) C/m \(\widehat{MHC}+\widehat{BAD}=90\)
c) C/m \(\frac{HC}{HF}+1=\frac{BC}{HE}\)
Lời giải:
a)
Ta có $\widehat{FCD}=\widehat{ACD}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{FCD}+\widehat{FED}=90^0+90^0=180^0$
$\Rightarrow CDEF$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$ có $HM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HM=\frac{BC}{2}=CM$
$\Rightarrow \triangle HCM$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MHC}=\widehat{MCH}$
Mà $\widehat{MCH}=\widehat{BDA}=90^0-\widehat{BAD}$
Do đó: $\widehat{MHC}=90^0-\widehat{BAD}$
$\Leftrightarrow \widehat{MHC}+\widehat{BAD}=90^0$
c)
Dễ thấy tứ giác $AHEB$ nội tiếp (do $\widehat{AHB}=\widehat{AEB}=90^0$)
$\Rightarrow \widehat{BHE}=\widehat{BAE}=90^0-\widehat{ADB}=90^0-\widehat{BCA}=\widehat{HBC}=\widehat{HBM}=\widehat{BHM}$
$\Rightarrow H,M,E$ thẳng hàng.
Xét tam giác $HMC$ có $B,E,F$ thẳng hàng thì áp dụng định lý Mê-ne-la-us ta có:
$\frac{HF}{CF}.\frac{EM}{HE}.\frac{BC}{BM}=1$
$\Leftrightarrow \frac{HF}{CF}.\frac{EM}{HE}.2=1$
$\Leftrightarrow \frac{CF}{HF}=\frac{2EM}{HE}$
$\Leftrightarrow \frac{CF}{HF}+2=\frac{2(EM+HE)}{HE}$
$\Leftrightarrow \frac{HC}{HF}+1=\frac{2HM}{HE}=\frac{BC}{HE}$ (đpcm)
