Chương II - Đường tròn

Cát Cát Trần

Cho ΔABC ngoại tiếp (I;R). Các tiếp tuyến của (I): MN // BC, DE // AC, PQ // AB. Ký hiệu các bán kính các đường tròn nội tiêp các ΔAMN, ΔBDE, ΔCPQ thứ tự là R1, R2, R3.

Chứng minh R = R1 + R2 + R3

Akai Haruma
17 tháng 12 2020 lúc 15:56

Lời giải:

Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ. Trong đó: 

K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMN

\(KL\perp AM; IU\perp AB (L\in AM; U\in AB)\)

Ký hiệu \(p_i\) là nửa chu vi tam giác \(i\)

\(A,K,I\) thẳng hàng vì cùng nằm trên đường phân giác trong góc A.

Dễ thấy:

\(\triangle AMN\sim \triangle ABC(g.g)\)\(\Rightarrow \frac{p_{AMN}}{p_{ABC}}=\frac{AM}{AB}\)

\(\triangle AMK\sim \triangle ABI(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AI}\)

Mà \(LK\parallel IU \) nên theo Talet thì \(\frac{AK}{AI}=\frac{LK}{IU}=\frac{R_1}{R}\)

Do đó: \(\frac{p_{AMN}}{p_{ABC}}=\frac{R_1}{R}\)

Hoàn toàn tương tự ta có: \(\frac{p_{CPQ}}{p_{ABC}}=\frac{R_2}{R}; \frac{p_{BED}}{p_{ABC}}=\frac{R_3}{R}\). Do đó:

\(\frac{R_1+R_2+R_3}{R}=\frac{p_{AMN}+p_{CPQ}+p_{BED}}{p_{ABC}}=\frac{AM+AN+MN+BE+BD+ED+CP+CQ+PQ}{AB+AC+BC}\)

\(=\frac{(AM+AN+CP+CQ+BE+BD)+(MN+DE+PQ)}{(AM+AN+CP+CQ+BE+BD)+(ME+NP+DQ)}=1\)

(do \(MN+DE+PQ=ME+NP+DQ\) do tính chất các tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow R_1+R_2+R_3=R\) 

Ta có đpcm.

 

Bình luận (2)
Akai Haruma
17 tháng 12 2020 lúc 15:57

Hình vẽ:

undefined

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Tôn Gia Kỳ
Xem chi tiết
loancute
Xem chi tiết
lekhoi
Xem chi tiết
Cr Linh
Xem chi tiết
Nguyên anh
Xem chi tiết
Thảo Anh
Xem chi tiết
Lại Văn Định
Xem chi tiết
Hoàng Quý	Bảo
Xem chi tiết
Bùi Tiến Thành
Xem chi tiết