Question

Cho đa thức P(x) = 1 + x + x² +...+ x¹⁰⁰

Tìm số dư khi chia P(13) cho 51.

Giải toán CASIO. Giúp mk vs. Mai mk nộp rùi

Answer 1

Thay x = 13 vào biểu thức, ta có:

\(P\left(13\right)=1+13+13^2+...+13^{100}\)

\(13P\left(13\right)=13+13^2+13^3+...+13^{101}\)

\(\Rightarrow13P\left(13\right)-P\left(13\right)=\left(13+13^2+13^3+...+13^{101}\right)-\left(1+13+13^2+...+13^{100}\right)\)

\(\Rightarrow12P\left(13\right)=13^{101}-1\)

\(\Rightarrow P\left(13\right)=\dfrac{13^{101}-1}{12}\)

Ta có: 51.12 = 612

Vì 13¹⁰¹ đồng dư với 421 ( mod 612 )

\(\Rightarrow13^{101}=612.k+421\) ( \(k\in Z\) )

\(\Rightarrow P\left(13\right)=\dfrac{612k+421-1}{12}\)

\(\Rightarrow P\left(13\right)=\dfrac{612k+420}{12}\)

\(\Rightarrow P\left(13\right)=51k+35\)

Vậy P(13) chia cho 51 dư 35.