Cho Δ ABC nhọn, I là giao 3 đường phân giác, r là khoảng cách từ I đến 3 cạnh của tam giác. Kí hiệu ha, hb, hc là độ dài 3 đường cao. ma,mb,mc là độ dài 3 đường trung tuyến. Gọi O là giao 3 đường trung trực Δ ABC. OA = R. Chứng minh \(\frac{m_a}{h_a}+\frac{m_b}{h_b}+\frac{m_c}{h_c}\) ≤ 1 + \(\frac{R}{r}\)
Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
Khi đó ma, ha là các đường tương ứng với a.
Gọi A' là trung điểm của BC. Các điểm B', C' được xđ tương tự
Ta có: \(\sum\frac{m_a}{h_a}=\frac{\sum m_aa}{2S}\le\frac{\sum\left(R+OA'\right)a}{2S}=\frac{\sum Ra+2S}{2S}=\frac{R\left(a+b+c\right)}{2S}+1\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{R}{r}\ge\frac{R\left(a+b+c\right)}{2S}\)
\(\Leftrightarrow2S\ge\left(a+b+c\right)r\)
Lại có: \(r=\frac{2S}{a+b+c}\)
Do đó điều trên luôn đúng. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABC là tg đều
