\(y'=\frac{x^2-2x+m}{\left(x-1\right)^2}\)
Để (C) cắt Ox tại 2 điểm pb \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm pb khác 1
\(\Leftrightarrow m^2-m>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)
Gọi hoành độ 2 giao điểm là a và b \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2m\\ab=m\end{matrix}\right.\)
Do tiếp tuyến tại 2 điểm vuông góc nhau
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-2a+m\right)}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{\left(b-1\right)^2}{b^2-2b+m}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+m\right)\left(b^2-2b+m\right)=-\left(a-1\right)^2\left(b-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2-2ab\left(a+b\right)+m\left(a^2+b^2\right)+4ab-2m\left(a+b\right)+m^2=-\left(ab-a-b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m^3-8m^2+4m=-\left(m-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m\left(m-1\right)^2+\left(m-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(l\right)\\m=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
