Question

Cho biểu thức: B = \(\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\) với x > 0, x ≠ 1

a, Rút gọn biểu thức B

b, Tìm giá trị của x để biểu thức B có giá trị nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\)

Answer 1

\(B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

Để \(B< \frac{1}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}< \frac{1}{2}\Rightarrow2\sqrt{x}-2< \sqrt{x}\) (do \(\sqrt{x}>0\))

\(\Rightarrow\sqrt{x}< 2\Rightarrow x< 4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< x< 4\\x\ne1\end{matrix}\right.\)