Question

Cho biểu thức \(A=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)( với a>0 và a≠1 )

a/ Rút gọn biểu thức A.

b/ Chứng minh rằng A<1 với mọi a>0 và a≠1.

c/ Tìm a để A= \(\frac{1}{2}\)

Answer 1

a)

\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\\ =\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\\ =\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)

b) Ta có: \(A=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}}=1-\frac{1}{\sqrt{a}}\)

Với mọi a>0 và a≠1 ta có \(\sqrt{a}>0\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}>0\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1\left(đpcm\right)\)

c)

\(A=1-\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sqrt{a}=2\Leftrightarrow a=4\left(tm\right)\)

Vậy.......