Lời giải:
Vecto chỉ phương của ĐT $AB$: \(\overrightarrow{u_{AB}}=(0,1,2)\)
Gọi vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ cần tìm là $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$
Ta có: \(\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u_{AB}}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{AB}}=0\)
\(\Leftrightarrow b+2c=0(1)\)
PT mặt phẳng $(P): a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0$
Khoảng cách từ $C$ đến $P$:
\(d=\frac{|a(x_C-1)+b(y_C-1)+c(z_C-1)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|2a+b-2c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow d=\frac{|2a-4c|}{\sqrt{a^2+5c^2}}$
Để $d$ max thì $d^2$ max hay $\frac{4(a-2c)^2}{a^2+5c^2}$ max
Theo BĐT Bunhiacopxky:
$(a-2c)^2\leq (a^2+5c^2)(1+\frac{4}{5})$
$\Rightarrow d^2\leq \frac{4(a^2+5c^2)(1+\frac{4}{5})}{a^2+5c^2}=\frac{36}{5}$
Giá trị max này đạt được khi $a=\frac{-5c}{2}$
Vậy $4a=5b=-10c$
Do đó PTMP $(P)$ là $5(x-1)+4(y-1)-2(z-1)=0$
