Question

cho B =4+4^2+4^3+4^4+.................4^2016 chứng tỏ B chia hết cho 105

Answer 1

\(B=4+4^2+4^3+...+2^{2016}\)

\(\Rightarrow B=4\left(1+4\right)+4^3\left(1+4\right)+...+4^{2015}\left(1+4\right)\)

\(\Rightarrow B=4.5+4^3.5+...+4^{2015}.5\)

\(\Rightarrow B=5\left(4+4^3+...+4^{2015}\right)\Rightarrow B⋮5\)

Lại có, do số số hạng bằng \(2016⋮3\) nên:

\(B=\left(4+4^2+4^3\right)+\left(4^4+4^5+4^6\right)+...+\left(4^{2014}+4^{2015}+4^{2016}\right)\)

\(B=4\left(1+4+16\right)+4^4\left(1+4+16\right)+4^{2014}\left(1+4+16\right)\)

\(B=4.21+4^4.21+...+4^{2016}.21\)

\(B=21\left(4+4^4+...+4^{2014}\right)\Rightarrow B⋮21\)

Mà 5 và 21 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow B⋮\left(5.21\right)\Rightarrow B⋮105\)