Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tran Phương

Cho A=\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)

B=1+\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{35}}\) Chứng minh B>A

Akai Haruma
21 tháng 6 2018 lúc 16:04

Lời giải:

Ta có;

\(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)

\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+....+\frac{\sqrt{121}-\sqrt{120}}{(\sqrt{120}+\sqrt{121})(\sqrt{121}-\sqrt{120})}\)

\(A=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{121}-\sqrt{120}\)

\(A=\sqrt{121}-\sqrt{1}=10\)

Mặt khác:

\(\frac{B}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{35}}\)

\(>\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{B}{2}>\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}-\sqrt{3})(\sqrt{4}+\sqrt{3})}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{(\sqrt{36}-\sqrt{35})(\sqrt{36}+\sqrt{35})}\)

\(\Leftrightarrow \frac{B}{2}>\frac{1}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\)

\(\Leftrightarrow \frac{B}{2}>\frac{1}{2}+\sqrt{36}-\sqrt{2}>5\Rightarrow B>10\Rightarrow B>A\)

Ta có đpcm.

Akai Haruma
21 tháng 6 2018 lúc 16:05

Mấu chốt là bạn nhìn ra \((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})=(n+1)-n=1\) để thực hiện liên hợp


Các câu hỏi tương tự
Tran Phương
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Trần Diệp Nhi
Xem chi tiết
Chi Nguyễn Khánh
Xem chi tiết
An Sơ Hạ
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Quỳnh Như
Xem chi tiết
long bi
Xem chi tiết
vi thanh tùng
Xem chi tiết
công
Xem chi tiết