Câu hỏi của Đạt Trần Tiến

Question

Cho a,b,c>0 tm abc=1 CMR

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\ge1    $

Lightning Farron · Accepted Answer

Đặt $a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$  khi đó cần chứng minh:

$\dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}\ge1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

$VT=\dfrac{y^2}{2xy+y^2}+\dfrac{z^2}{2yz+z^2}+\dfrac{x^2}{2zx+x^2}$

$\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}$

$=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1=VP$

Khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Đặt $a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}$  khi đó cần chứng minh:

$\dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{z}{2y+z}+\dfrac{x}{2z+x}\ge1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

$VT=\dfrac{y^2}{2xy+y^2}+\dfrac{z^2}{2yz+z^2}+\dfrac{x^2}{2zx+x^2}$

$\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}$

$=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1=VP$

Khi $a=b=c=1$

Bài 1: Căn bậc hai