a) Ta có: M đối xứng với D qua AB(gt)
⇔AB là đường trung trực của MD
⇔AB⊥MD và AB cắt MD tại trung điểm của MD
mà AB\(\cap\)MD={E}
nên E là trung điểm của MD
Ta có: N đối xứng với D qua AC(gt)
⇔AC là đường trung trực của ND
⇔AC⊥ND và AC cắt ND tại trung điểm của ND
mà AC\(\cap\)ND={F}
nên F là trung điểm của ND
Xét tứ giác AFDE có
\(\widehat{FAE}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{DFA}=90^0\)(DN⊥AC, F∈DN)
\(\widehat{DEA}=90^0\)(DM⊥AB, E∈DM)
Do đó: AFDE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: AFDE là hình chữ nhật(cmt)
⇒AF//DE và FD//AE(các cặp cạnh đối trong hình chữ nhật AFDE)
⇒DE//AC và DF//AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
DE//AC(cmt)
Do đó: E là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
DF//AB(cmt)
Do đó: F là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADBM có
E là trung điểm của đường chéo DM(cmt)
E là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
Do đó: ADBM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Xét tứ giác ANCD có
F là trung điểm của đường chéo AC(cmt)
F là trung điểm của đường chéo ND(cmt)
Do đó: ANCD là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
c) Ta có: AEDF là hình chữ nhật(cmt)
⇒Hai đường chéo AD và FE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)
mà AD\(\cap\)FE={O}
nên O là trung điểm chung của AD và FE
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
E là trung điểm của AB(cmt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒\(DE=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà \(DE=\frac{DM}{2}\)(E là trung điểm của DM)
nên AC=DM
Xét tứ giác AMDC có AC//DM(AC//DE, M∈DE) và AC=DM(cmt)
nên AMDC là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AD và MC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)
mà O là trung điểm của AD(cmt)
nên O là trung điểm của MC
hay M,O,C thẳng hàng(đpcm)
