Question

Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H BC  tại D, HE AC ⊥ tại E. 

a/ Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật; 

b/ Trên tia đối của tia AE lấy điểm F sao cho AF = AE.
 c/ Gọi K là trung điểm HC. Giả sử HC = 8cm; AC = 10 cm. Tính số đo góc DEK và độ dài cạnh DK.

  

Answer 1

a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

c: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)

Xét ΔHAC vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔHAC~ΔABC

=>\(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(CA^2=CH\cdot CB\)

=>\(CB=\dfrac{10^2}{8}=12,5\left(cm\right)\)

ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên \(EK=\dfrac{HC}{2}=\dfrac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)

=>\(HA=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\)

ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

=>DE=6(cm)

ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên \(EK=KH=\dfrac{HC}{2}\)

KE=KH nên ΔKEH cân tại K

=>\(\widehat{KEH}=\widehat{KHE}\)

mà \(\widehat{KHE}=\widehat{HBA}\)(hai góc đồng vị, HE//AB)

nên \(\widehat{KEH}=\widehat{HBA}\)

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}=\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\)

=>ΔEKD vuông tại E

=>\(EK^2+ED^2=KD^2\)

=>\(KD=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)