Question

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR

\(\left(a-1+\dfrac{1}{b}\right)\left(b-1+\dfrac{1}{c}\right)\left(c-1+\dfrac{1}{a}\right)\le1\)

Answer 1

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) thì:

\(\left(-x+y+z\right)\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)\le xyz\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{\left(-x+y+z\right)\left(x-y+z\right)}\le\dfrac{-x+y+z+x-y+z}{2}=z\)

Tương tự rồi cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\sqrt{\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)}\le x;\sqrt{\left(-x+y+z\right)\left(x+y-z\right)}\le y\)

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=\left(-x+y+z\right)\left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)\le xyz=VP\)