Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. HÃY tìm GTNN của biểu thức:

1/(a^2+b^2+c^2) + 1/abc

Giúp mình với :((

Answer 1

\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)

\(P\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+bc+ca+bc}+\frac{7}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)