Question

Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh:

\(\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)\)≥\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)\)

Answer 1

Sử dụng pp biến đổi tương đương cho đơn giản:

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+ab^4+a^4b\ge a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4b-a^3b^2+ab^4-a^2b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3b\left(a-b\right)-ab^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2ab\left(a+b\right)\ge0\) luôn đúng \(\forall a;b>0\)

Vậy BĐT đã cho đúng

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)