Question

Cho ▲ABC có A=90 độ AB>AC vẽ đường cao AH của ▲ABC.Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường thẳng vuông góc với BC tai D cắt AC tại E.Vẽ EF vuông góc với AH tại F

a)CM EF = DH

b)CM AB=AE và tính số đo các góc của ▲ABE

c)Đường trung trực của đoạn DE cắt BE ở M.CM các tam giác DME,DMB cân

Answer 1

a)Ta có:

\(\widehat{EDH}=\widehat{DHA}=90^0\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên DE//AF

Lại có:

\(\widehat{EFH}=\widehat{DHA}=90^0\)mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên EF//DH

Xét △FEH và △DHE có:

\(\widehat{FEH}=\widehat{DHE}\)(so le trong)

EH chung

\(\widehat{EHF}=\widehat{HED}\)(so le trong) ⇒△FEH =△DHE (gcg) ⇒FE=DH (đpcm) b) Xét △EAF có: \(\widehat{EAF}+\widehat{AFE}+\widehat{FEA}=180^0\Rightarrow\widehat{EAF}+\widehat{FEA}=90^0\) Lại có: \(\widehat{EAF}+\widehat{HAB}=90^0\) \(\Rightarrow\widehat{EAF}+\widehat{FEA}=\)\(\widehat{EAF}+\widehat{HAB}=90^0\) \(\Rightarrow\widehat{FEA}=\widehat{HAB}\) Ta có: EF=DH (câu a); DH=AH (gt) ⇒EF=AH Xét △EFA và △AHB có: \(\widehat{FEA}=\widehat{HAB}\left(cmt\right)\) EF=AH (cmt) \(\widehat{EFA}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\) ⇒△EFA = △AHB (gcg) ⇒EA=AB (đpcm) ⇒△ABE vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{EAB}=90^0;\widehat{AEB}=\widehat{ABE}=45^0\) c)M là điểm nằm trên đường trung trực của DE ⇒ME=MD⇒△MED cân tại M (đpcm) Gọi I là trung điểm của DE ⇒IM⊥DE Lại có:DB⊥DE ⇒IM//DB ⇒\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IMD}=\widehat{MDB}\\\widehat{EMI}=\widehat{MBD}\end{matrix}\right.\)(1) Mà △MED cân tại M có IM là đường trung trực=> MI cũng là đường phân giác =>\(\widehat{EMI}=\widehat{IMD}\left(2\right)\) Từ (1) và (2) =>\(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)=> △DMB cân tại M (đpcm)

Answer 2