Question

Cho △ABC cân có AB=AC=5cm,BC=8cm.Kẻ AH ⊥ BC(H ∈ BC)
a,Chứng minh:HB=HC và ∠CAH=∠BAH

b,Tính độ dài AH

c,Kẻ HD ⊥ AB(D ∈ AB), HE ⊥ AC(E ∈ AC).Chứng minh:DE//BC

Answer 1

a)

*Chứng minh HB=HC

Xét ΔAHB và ΔAHC có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒HB=HC(hai cạnh tương ứng)

*Chứng minh \(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)

Ta có: ΔAHB=ΔAHC(cmt)

⇒\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)(hai góc tương ứng)(đpcm)

b) Tính AH

Ta có: HB=HC(cmt)

mà HB+HC=BC=8cm(B,H,C thẳng hàng)

nên \(HB=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4cm\)

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

hay \(AH^2=AB^2-HB^2=5^2-4^2=9\)

⇒\(AH=\sqrt{9}=3cm\)

Vậy: AH=3cm

c)

Xét ΔADH vuông tại D và ΔAEH vuông tại E có

AH là cạnh chung

\(\widehat{DAH}=\widehat{EAH}\)(\(\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\), D∈AB, E∈AC)

Do đó: ΔADH=ΔAEH(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔADE có AD=AE(cmt)

nên ΔADE cân tại A(định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{ADE}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

⇒\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{ABC}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//BC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)