Ta CM : \(\dfrac{1}{xy}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\) \(\Leftrightarrow\) (x+y)2 \(\geq\) 4xy \(\Leftrightarrow\) x2+2xy+y2\(\geq\) 4xy
\(\Leftrightarrow\) x2+2xy+y2-4xy \(\geq \) 0 \(\Leftrightarrow\) x2-2xy+y2 \(\geq\) 0 \(\Leftrightarrow\) (x-y)2 \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' khi và chỉ khi x=y
Ta có: (1+\(\dfrac{1}{a}\))(1+\(\dfrac{1}{b}\)) = 1+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{ab}\) = 1+ \(\dfrac{a+b}{ab}\)+\(\dfrac{1}{ab}\)=1+\(\dfrac{1}{ab}\)+\(\dfrac{1}{ab}\)
= 1+ 2.\(\dfrac{1}{ab}\)
Áp dụng BĐT vừa chứng minh trên ta được:
1+2.\(\dfrac{1}{ab}\)\(\geq\) 1+2.\(\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\)=1+2.4=1+8=9
Từ đó suy ra (1+\(\dfrac{1}{a}\))(1+\(\dfrac{1}{b}\)) \(\geq\) 9
Dấu'=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=0,5
