Question

Cho a,b tm: \(|a|\ge2; |b|\ge2\) CMR

\(a^2+1)(b^2+1)\ge (a+b)(ab+1)+5\)

Answer 1

*Th1: Xét a;b < 0 thì \(a\le-2;b\le-2\)

khi đó VF âm và VT luôn dương nên BĐT luôn xảy ra.

*Th2: Xét a;b > 0 thì \(a\ge2;b\ge2\).

\(BDT\Leftrightarrow2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\ge2\left(ab+1\right)\left(a+b\right)+10\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2+a^2b^2-2ab\left(a+b\right)\right]+\left(a^2b^2-8ab+16\right)+\left(a^2+b^2-2ab\right)+8ab-2a-2b-24\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-ab\right)^2+\left(ab-4\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)\left(b-2\right)+7\left(ab-4\right)\ge0\)

( đúng)

Vậy BĐT được chứng minh.