Question

cho a,b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác , xác định tam giác đã cho để : ( a / b+c-a ) + ( b/ a+c-b)+(c/a+b-c) đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Đặt: a + b - c = 2x; b + c - a = 2y; c + a - b = 2z

Thì suy ra: a = x + z; b = x + y; c = y + z

Từ đó bài toán thành tìm GTNN của

\(\dfrac{x+y}{2z}+\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{z+x}{2y}\)

Answer 2

Đặt: \(\left\{\begin{matrix}a+b-c=2x\\b+c-a=2y\\c+a-b=2z\end{matrix}\right.\)thì ta có \(\left\{\begin{matrix}a=z+x\\b=x+y\\c=y+z\end{matrix}\right.\)

Thì bài toán ban đầu thành tìm GTNN của: \(\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\right)\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c

Vậy biểu thức đạt GTNN là 3 khi tam giác đó là tam giác đều