Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\frac{a^2}{b-1}+4(b-1)\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4(b-1)}=4a\)
\(\frac{b^2}{a-1}+4(a-1)\geq 2\sqrt{\frac{b^2}{a-1}.4(a-1)}=4b\)
Cộng theo vế:
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}+4(a-1)+4(b-1)\geq 4a+4b\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\geq 8\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$
cho a,b,c la cac so khong am . chung minh rang :
\(\dfrac{1+a+b}{2}\ge\dfrac{1+a+b+ab}{2+a+b}\)
Cho a, b >1. Chứng minh: \(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\) .
P/S: Giải thích vì sao dấu "=" xảy ra khi a=b=2
Cho a,b,c là các số dương thõa \(a+b+c=1.CM\)
\(\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge12\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa \(a+b=1.CM\)
\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2+ab}\ge8\)
cho 3 so thuc x,y,z khac khong va thoa man hai dieu kien \(ax^3=by^3=cz^3\) va \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
chung minh rang : \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
cho so thuc a,b,c voi a ,b duong va c\(\ne\)0 thoa man
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
1/chung minh c<0 , a+c>0 va b+c >0
2/chung minh \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
cho a,b,c thoa man \(a\times\sqrt{1-b^2}+b\times\sqrt{1-c^2}+c\times\sqrt{1-a^2}=\dfrac{3}{2}\)
chung minh \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}+\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3\)
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}=2\) .Chứng minh:
\(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\)
Cho a,b,c > 0 chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
