\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}\)
Ta thấy:
\(\dfrac{1}{2^2}>0\)
\(\dfrac{1}{3^2}>0\)
\(\dfrac{1}{4^2}>0\)
...
\(\dfrac{1}{2016^2}>0\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}>2015\cdot0=0\\ \Leftrightarrow A>0\)
Mặt khác:
\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \)
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3\cdot4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\)
...
\(\dfrac{1}{2016^2}< \dfrac{1}{2015\cdot2016}=\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\\ \Leftrightarrow A< 1-\dfrac{1}{2016}< 1\left(2\right)\)Từ (1) và (2) ta có: \(0< A< 1\)
Không có số tự nhiên nào nằm giữa 0 và 1, vậy A không phải là số tự nhiên
