Question

Cho a = \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}\). Hãy tính a³ +3a

Answer 1

Lời giải:

Đoán là $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$ kiểu gì cũng rút gọn được nên ta đặt $7+5\sqrt{2}=(m+\sqrt{2})^3$ với $m$ nguyên

$\Leftrightarrow 7+5\sqrt{2}=(m^3+6m)+\sqrt{2}(3m^2+2)$
Do $m$ nguyên nên $7=m^3+6m$ và $5=3m^2+2$

$\Rightarrow m=1$. Do đó 7+5\sqrt{2}=(1+\sqrt{3})^3$

$\Rightarrow a=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}=1+\sqrt{2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}-(-1+\sqrt{2})=2$