Question

Cho a là số tự nhiên lẻ , b là một số tự nhiên . Chứng minh rằng các số a và ab+4 nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Gọi d là ước chung lớn nhất của a và ab + 4.
Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\ab+4⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab⋮d\\ab+4⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow4⋮d\).
Vậy d = 1 hoặc d = 2.
Nếu d = 1 thì a và ab + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Nếu d = 2 thì a chia hết cho 2 nên a là một số tự nhiên chẵn (vô lý).
Ta hoàn thành chứng minh.

Answer 2

Gọi k là ước số của a và ab+4
Do a lẻ => k lẻ
Ta biểu diễn:
{ab+4=kp (1)
{a=kq (2)
Thay (2) vào (1)
=> kqb+4 =kp
=> k(p-qb)=4
=> p-qb =4/k
Do p-qb nguyên => k là ước lẻ của 4 => k=1
Vậy a và ab+4 nguyên tố cùng nhau