Lời giải:
Ta có: \(A=\frac{a^3}{24}+\frac{a^2}{8}+\frac{a}{12}=\frac{a^3+3a^2+2a}{24}=\frac{a(a+1)(a+2)}{24}\)
Để CM $A$ là số nguyên thì ta cần chỉ ra \(a(a+1)(a+2)\vdots 24\)
Thật vậy
Vì \(a,a+1,a+2\) là 3 số nguyên liên tiếp nên luôn tồn tại một số chia hết cho $3$
\(\Rightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 3(1)\)
Vì \(a\) chẵn nên đặt \(a=2k\)
\(\Rightarrow a(a+1)(a+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1)\)
Thấy rằng \(k(k+1)\) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn tồn tại một trong hai số đó là số chẵn, do đó \(k(k+1)\vdots 2\)
\(\Leftrightarrow a(a+1)(a+2)=4k(k+1)(2k+1)\vdots 8(2)\)
Từ \((1),(2)\) mà $(8,3)$ nguyên tố cùng nhau nên \(a(a+1)(a+2)\vdots 24\Leftrightarrow A=\frac{a(a+1)(a+2)}{24}\in\mathbb{Z}\)
Ta có đpcm.
