\(GT\Leftrightarrow5a^2+2abc+\left(4b^2+3c^2-60\right)=0\). (*)
\(\Delta'=\left(bc\right)^2-5\left(4b^2+3c^2-60\right)=b^2c^2-20b^2-15c^2+300=\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)\).
Ta có a, b, c > 0 nên \(4b^2< 60;3c^2< 60\Rightarrow b^2< 15;c^2< 20\).
Do đó \(\Delta'>0\).
Vì a là nghiệm dương của (*) nên: \(a=\frac{\sqrt{\left(15-b^2\right)\left(20-c^2\right)}-bc}{5}\le_{AM-GM}\frac{15-b^2+20-c^2-2bc}{10}=\frac{30-\left(b+c\right)^2}{10}\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{30+10\left(b+c\right)-\left(b+c\right)^2}{10}=\frac{55-\left(b+c-5\right)^2}{10}\le\frac{11}{2}\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b = 2; c = 3; a = 0,5.
