Question

Cho 4 điểm A(1;3), B(0;5), C(4;2) và D(-2;-1). Chứng minh D là trực tâm của tam giác ABC

Answer 1

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;2\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(3;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{DC}=\left(6;3\right)\) ; \(\overrightarrow{DB}=\left(2;6\right)\)

Ta có:

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=-1.6+2.3=0\Rightarrow CD\perp AB\)

\(\Rightarrow\) D nằm trên đường cao hạ từ C xuống AB

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=3.2+\left(-1\right).6=0\Rightarrow BD\perp AC\)

\(\Rightarrow\) D nằm trên đường cao hạ từ B xuống AC
\(\Rightarrow\) D là trực tâm tam giác