Lời giải:
Điều kiện: $a,b,c$ không âm.
Áp dụng BĐT AM-GM đối với các số $a,b,c$ không âm ta có:
$(a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})=(a\sqrt{a}+b\sqrt{a})+(b\sqrt{b}+c\sqrt{b})+(c\sqrt{c}+a\sqrt{c})+(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a})$
$\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{c}+2c\sqrt{a}+a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}=3(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{c})=3.24=72(*)$
Mặt khác, theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM ta có:
$3(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$
$\Rightarrow (a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq \sqrt{3(a+b+c)^3}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \sqrt{3(a+b+c)^3}\geq 72$
$\Rightarrow a+b+c\geq 12$
Vậy $S_{\min}=12$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=4$
Điều kiện a, b, c không âm.
Áp dụng BĐT Bunyakovski:\(24^2=\left(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\right)^2=\left(\sqrt{a}.\sqrt{ab}+\sqrt{b}.\sqrt{bc}+\sqrt{c}.\sqrt{ca}\right)^2\)
\(\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3}\)
Từ đây suy ra \(S=a+b+c\ge12\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 4
