a: P(0;4); (d1): mx+(m-1)y-2m+1=0
Khoảng cách từ P đến (d1) là:
\(d\left(P;\left(d1\right)\right)=\frac{\left|0\cdot m+4\left(m-1\right)-2m+1\right|}{\sqrt{m^2+\left(m-1\right)^2}}=\frac{\left|4m-4-2m+1\right|}{\sqrt{2m^2-2m+1}}\)
\(=\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{2m^2-2m+1}}=\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{2\left(m^2-m+\frac12\right)}}=\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{2\left(m-\frac12\right)^2+\frac12}}\le\frac{\left|2m-3\right|}{\sqrt{\frac12}}=\sqrt2\left|2m-3\right|\)
Để d(P;(d1)) lớn nhất thì m-1/2=0
=>m=1/2
b: Tọa độ của điểm I sẽ là nghiệm của hệ sau:
\(\begin{cases}mx+\left(m-1\right)y-2m+1=0\\ \left(1-m\right)x+my-4m+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}mx+\left(m-1\right)y=2m-1\\ \left(1-m\right)x+my=4m-1\end{cases}\) (1)
Để (1) có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{1-m}<>\frac{m-1}{m}\)
=>\(m^2<>\left(m-1\right)\left(1-m\right)=-\left(m-1\right)^2\)
=>\(m^2+\left(m-1\right)^2<>0\)
=>\(2m^2-2m+1<>0\)
=>\(m^2-m+\frac12<>0\)
=>\(m^2-m+\frac14+\frac14<>0\)
=>\(\left(m-\frac12\right)^2+\frac14<>0\) (luôn đúng)
=>(d1) luôn cắt (d2) tại một điểm I cố định
