Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Truong hau

Câu7,8,9 ạ

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 17:46

7.

Bài toán: từ 1 nhóm có 2n người, bao gồm đúng n nam và n nữa, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra n người khác nhau.

- Cách chọn thứ nhất:  chọn n người từ 2n người, có \(C_{2n}^n\) cách

- Cách chọn thứ 2: giả sử trong n người được chọn, có k nam và n-k nữ (với k từ 0 tới n)

Chọn k nam từ n nam: có \(C_n^k\) cách, chọn n-k nữ từ n nữ, có \(C_n^{n-k}=C_n^k\) cách

\(\Rightarrow\) có \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^k.C_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\)

Do 2 cách chọn đều có kết quả giống nhau, suy ra: 

\(C_{2n}^n=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=\left(C_n^0\right)^2+\left(C_n^1\right)^2+...+\left(C_n^n\right)^2\)

Thay \(n=2014\Rightarrow\left(C_{2014}^0\right)^2+\left(C_{2014}^1\right)^2+...+\left(C_{2014}^{2014}\right)^2=C_{4028}^{2014}\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 17:50

8.

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

Đạo hàm 2 vế:

\(n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1}\)

Thay \(x=1\) vào đẳng thức trên ta được:

\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n\)

\(\Rightarrow n.2^{n-1}=n.2^{2013}\)

\(\Rightarrow n-1=2013\)

\(\Rightarrow n=2014\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 17:53

Câu 8 nếu ko sử dụng đạo hàm thì còn cách khác như sau:

Ta có:

\(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k!\right)}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)

Từ đó ta có:

\(1.C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n=nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+nC_{n-1}^{n-1}\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

\(=n.2^{n-1}\)

\(\Rightarrow n.2^{n-1}=n.2^{2013}\Rightarrow n=2014\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 3 2022 lúc 17:58

9.

Tương tự câu 8, ta chứng minh được: \(kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\Rightarrow\sum kC_n^k=n.2^{n-1}\)

Do đó:

\(S=\left(3.0+2\right)C_n^0+\left(3.1+2\right)C_n^1+...+\left(3n+2\right)C_n^n\)

\(=\left(3.1C_n^1+3.2C_n^2+...+3.nC_n^n\right)+\left(2C_n^0+2C_n^1+...+2C_n^n\right)\)

\(=3\left(1.C_n^1+2.C_n^2+...+nC_n^n\right)+2\left(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n\right)\)

\(=3.n.2^{n-1}+2.2^n\)

\(=\left(3n+4\right).2^{n-1}\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Thị Lan Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Linh Chi
Xem chi tiết
Minh Ahn
Xem chi tiết
HTK gaming
Xem chi tiết
Đặng Huỳnh Như
Xem chi tiết
Hoàng Thảo Trần Bùi
Xem chi tiết
Ma Puita
Xem chi tiết
Nguyễn Linh
Xem chi tiết