Câu 1:
Ta có:
\(\left(2n^2-n+2\right)\div\left(2n+1\right)=n-1+\dfrac{3}{2n+1}\)
Để \(\left(2n^2-n+2\right)⋮\left(2n+1\right)\)
Thì \(3⋮2n+1\) Hay \(2n+1\inƯ\left(3\right)\)
Mà \(Ư\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
Vậy \(n=\left\{-2;-1;0;1\right\}\)
Câu 2:
Thay \(x=2013\) vào đẳng thức ta có:
\(\left(2013-2013\right).f\left(2013\right)=\left(2013-2014\right).f\left(2013-2012\right)\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\) là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\)
Thay \(x=2014\) vào đẳng thức ta có:
\(\left(2014-2013\right).f\left(2014\right)=\left(2014-2014\right).f\left(2014-2012\right)\)
\(\Rightarrow f\left(2014\right)=0\)
\(\Rightarrow x=2014\) là một nghiệm của đa thức \(f\left(x\right)\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=1;x=2014\)
Câu 3:
Ta có:
\(5\equiv1\) (\(mod\) \(4\)) \(\Rightarrow5^x\equiv1\) (\(mod\) \(4\))
\(\Rightarrow5^x+1\equiv2\) (\(mod\) \(4\)) \(\Rightarrow y=1\)
Thay vào đẳng thức trên ta có:
\(5^x+1=2\Rightarrow5^x=1\Rightarrow x=0\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
