Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
với x, y, z > 0.
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.
Câu 4. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:
a) ab và a/b là số vô tỉ.
b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
Câu 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
Câu 7. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1
Câu 3:
Áp dụng bđt AM - GM, ta có:
\(M=xyz\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}\times\dfrac{\left[\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\right]^3}{27}\)
\(=\dfrac{1^3}{27}\times\dfrac{2^3}{27}=\dfrac{8}{729}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Câu 6:
Áp dụng bđt Cauchy Shwarz dạng Engel và bđt AM - GM, ta có:
\(M=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{cd+ac}+\dfrac{d^2}{ad+bd}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ad+bc+cd+ab+2ac+2bd}\)
\(=\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+2ac+2bd}\)
\(\ge\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(2ad+2bc+2cd+2ab+2ac+2bd\right)+a^2+c^2+b^2+d^2}\)
\(=\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)^2}{\left(a+b+c+d\right)^2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d
Câu 1: Dễ dàng chứng minh được bđt sau:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{yz}+\dfrac{z^2}{xz}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(A\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}{xy+yz+xz}\)
\(A\ge\dfrac{3\left(xy+yz+xz\right)}{xy+yz+xz}=3\)
2) Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
\(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{4^2}{2}=8\)
.
.
.