Câu 1: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5.
Chứng tỏ: p chia 6 dư 5 hoặc 1.
Câu 2: Tìm số tự nhiên có 2 c/s có 6 ước.
Gọi số đó là n (10 \(\le\) n \(\le\) 99; \(n\in N\)). Phân tích n ra thừa số nguyên tố: ax . by . cz ... (a, b, c,... là các số nguyên tố; x, y, z,... \(\in\) N*). Khi đó ta có: (x + 1)(y + 1)(z + 1)... = 6.
Phân tích 6 ra một hoặc nhiều thừa số lớn hơn 6, ta có: 6 = 2 . 3. Xét các trường hợp:
- n có 1 thừa số khi phân tích ra thừa số nguyên tố: Ta có n = ax. Khi đó x + 1 = 6 \(\Rightarrow\) x = 5. Mà n có hai chữ số nên a = 2 \(\Rightarrow\) n = 32, thỏa mãn
- n có 2 thừa số khi phân tích ra thừa số nguyên tố: Ta có n = ax . by. Khi đó (x + 1)(y + 1) = 3 . 2. Giả sử x + 1 = 3, y + 1 = 2 \(\Rightarrow\) x = 2, y = 1 \(\Rightarrow\) n = a2 . b. Vì a2 < n nên a = 2; 3; 5 hoặc 7.
+ Với a = 2 thì 4 . b = n \(\Rightarrow\) 2 < b < 25 \(\Rightarrow\) \(b\in\left\{3;5;7;11;13;17;19;23\right\}\) \(\Rightarrow\) \(n\in\left\{12;20;28;44;52;68;76;92\right\}\), thỏa mãn.
+ Với a = 3 thì 9 . b = n \(\Rightarrow\) 1 < b < 12 \(\Rightarrow\) \(b\in\left\{2;3;5;7;11\right\}\) \(\Rightarrow n\in\left\{18;27;45;63;99\right\}\), thỏa mãn.
+ Với a = 5 thì 25 . b = n \(\Rightarrow\) 0 < b < 4 \(\Rightarrow\) \(b\in\left\{2;3\right\}\) \(\Rightarrow\) \(n\in\left\{50;75\right\}\), thỏa mãn.
+ Với a = 7 thì 49 . b = n \(\Rightarrow\) 0 < b < 2, loại.
Vậy, bài toán có nhiều đáp số (bạn tự liệt kê)
1. p là số nguyên tố lớn hơn 5 \(\Rightarrow\) p chia cho 6 dư 1; 3 hoặc 5.
Theo như trên ta cũng có p \(⋮̸\) 3 \(\Rightarrow\) p chia cho 6 không dư 3 \(\Rightarrow\) p chia cho 6 dư 1 hoặc 5 (đpcm)
