Gọi tam giác vuông là ΔABC vuông tại A(AB<AC; AB>0; AC>0) có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC
⇔HB là hình chiếu của AB trên BC và HC là hình chiếu của AC trên BC
Theo đề bài, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BC=10cm\\\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow AB=\frac{3\cdot AC}{4}\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3\cdot AC}{4}\right)^2+AC^2=10^2=100\)
\(\Leftrightarrow\frac{9\cdot AC^2}{16}+AC^2=100\)
\(\Leftrightarrow AC^2\left(\frac{9}{16}+1\right)=100\)
\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\frac{25}{16}=100\)
\(\Leftrightarrow AC^2=100:\frac{25}{16}=100\cdot\frac{16}{25}=64\)
hay \(AC=\sqrt{64}=8cm\)
Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow AB=\frac{3\cdot8}{4}=\frac{24}{4}=6cm\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH\cdot10=6^2=36\\CH\cdot10=8^2=64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\frac{36}{10}=3.6cm\\CH=\frac{64}{10}=6.4cm\end{matrix}\right.\)
Vậy: Độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông trên cạnh huyền lần lượt là 3.6cm và 6.4cm
