Question

Các số thực x, y, a thỏa mãn:

\(\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{y^4x^2}}=a\)

Chứng minh đẳng thức: \(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}\)

Answer 1

Đặt \(\left(\sqrt[3]{x^2};\sqrt[3]{y^2}\right)=\left(X;Y\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{X^3+X^2Y}+\sqrt{Y^3+XY^2}=a\)

\(\Leftrightarrow X\sqrt{X+Y}+Y\sqrt{X+Y}=a\)

\(\Leftrightarrow\left(X+Y\right)\sqrt{X+Y}=a\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(X+Y\right)^3}=a\)

\(\Rightarrow\left(X+Y\right)^3=a^2\Rightarrow X+Y=\sqrt[3]{a^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}\)

Answer 2

Bài này đề CSP năm ngoái hay sao á