Question

biết rằng 3 cạnh a, b, c thỏa \(a\le1\le b\le2\le c\le3\) tìm tam giác abc thỏa mãn đk trên và có diện tích lớn nhất.

Answer 1

Khai bút đầu năm :)

Theo hệ thức Herong: \(S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}}{4}\)

Ta đi tìm \(\triangle ABC\) có diện tích lớn nhất, đồng nghĩa với việc cần tìm max của \(A=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\)

Ta có: \(A=[(a+b+c)(a+b-c)][(c+a-b)(c-a+b)]=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(A\leq \left(\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2}\right)2=(2ab)^2\leq 4^2=16\) (do \(a\leq 1\leq b\leq 2\))

\(\Rightarrow S_{ABC_{\max}}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,2,\sqrt{5})\)

Vậy tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất là tam giác có độ dài ba cạnh là \(1,2,\sqrt{5}\)