Ta có phần dư luôn luôn có bậc nhỏ hơn số chia và số chia có bậc 2 nên phần dư sẽ có bậc 1
Vậy phần dư có dạng ax+b
Vậy ta có \(P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right).\left(1-x^2\right)+ax+b\)
Ta có P(x) chia x-2 dư 5\(\Rightarrow P\left(2\right)=5\)
Vậy ta có \(P\left(2\right)=\left(2-2\right)\left(2-3\right)\left(1-2^2\right)+2a+b\Leftrightarrow5=2a+b\left(1\right)\)
Ta lại có P(x) chia x-3 dư 7\(\Rightarrow P\left(3\right)=7\)
Vậy ta có \(P\left(3\right)=\left(2-3\right)\left(3-3\right)\left(1-3^2\right)+3a+b\Leftrightarrow7=3a+b\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=5\\3a+b=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
Vậy phần dư có dạng 2a+1
Vậy \(P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(1-x^2\right)+2x+1=\left(x^2-5x+6\right)\left(1-x^2\right)+2x+1=x^2-x^4-5x+5x^3+6-6x^2+2x+1=-x^4+5x^3-5x^2-3x+7\)
Vậy P(x)=\(-x^4+5x^3-5x^2-3x+7\)
