Question

Biết a,b là các số nguyên dương thỏa mãn a²-ab+b² chia hết cho 9. Chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3.

Answer 1

Lời giải:

Ta có:
\(a^2-ab+b^2\vdots 9\vdots 3\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-3ab\vdots 3\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2-3ab\vdots 3\Rightarrow (a+b)^2\vdots 3\Rightarrow a+b\vdots 3\) (do $3$ là số nguyên tố)

\(\Rightarrow (a+b)^2\vdots 9\)

Mà \(a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\vdots 9\) (giả thiết)

Suy ra \(3ab\vdots 9\Rightarrow ab\vdots 3\). Do đó tồn tại ít nhất một trong 2 số $a$ hoặc $b$ chia hết cho $3$. Không mất tổng quát, giả sử $a$ chia hết cho $3$

Khi đó \(a(a-b)\vdots 3\), mà \(a^2-ab+b^2=a(a-b)+b^2\vdots 3\)

\(\Rightarrow b^2\vdots 3\Rightarrow b\vdots 3\)

Vậy $a,b$ đều chia hết cho $3$