Question

Bài 7. Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.

b) Đường thẳng DH cắt đường tròn O tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng năm điểm A,I,F,H,E cùng nằm trên đường tròn

Answer 1

b: Xét tứ giác BHCD có

M là trung điểm chung của BC và HD

=>BHCD là hình bình hành

=>BH//CD và BD//CH

ta có: BH//CD

BH\(\perp\)AC

Do đó: CD\(\perp\)CA

=>ΔCDA vuông tại C

=>ΔCAD nội tiếp đường tròn đường kính AD(1)

Ta có: BD//CH

CH\(\perp\)AB

Do đó: BD\(\perp\)BA

=>ΔBAD vuông tại B

=>ΔBAD nội tiếp đường tròn đường kính AD(2)

Từ (1) và (2) suy ra B,A,D,C cùng thuộc (O), đường kính AD

Xét (O) có

ΔAID nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAID vuông tại I

=>AI\(\perp\)ID tại I

=>AI\(\perp\)IH tại I

=>ΔAIH vuông tại I

=>I nằm trên đường tròn đường kính AH(3)

ta có: \(\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

=>A,F,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH(4)

Từ (3) và (4) suy ra A,F,I,H,E cùng thuộc một đường tròn