Question

 Bài 6: Cho tam giác ABC, đỉnh A. Kẻ các phân giác BI, CJ của các góc đáy B, C. Chứng minh
tứ giác BCIJ là hình thang cân. 

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABI}=\widehat{IBC}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\\\widehat{ACJ}=\widehat{JCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) nên \(\widehat{ABI}=\widehat{IBC}=\widehat{ACJ}=\widehat{JCB}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABI}=\widehat{ACJ}\\AB=AC\\\widehat{BAC}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACJ\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow AI=AJ\\ \Rightarrow\Delta AIJ.cân.tại.A\Rightarrow\widehat{AJI}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\\ \Delta ABC.cân.tại.A\Rightarrow\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{AJI}=\widehat{ABC}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(BC//IJ\Rightarrow BCIJ\) là hthang

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) nên \(BCIJ\) là hthang cân

Answer 2

Xét ΔABI và ΔACJ có 

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACJ}\)

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔABI=ΔACJ

Suy ra: AI=AJ

Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AJ}{AB}=\dfrac{AI}{AC}\)

Do đó: JI//BC

Xét tứ giác BJIC có JI//BC

nên BJIC là hình thang

mà BI=JC

nên BJIC là hình thang cân